Question

設S_n是公差為d的無窮等差數列{a_n}的前n項和，則下列說法正確的是

 

．
①若d＜0，則數列{S_n}有最大項
②若數列{S_n}有最大項，則d＜0
③若數列{S_n}是遞增數列，則對任意n∈N^*，均有S_n＞0
④若對任意n∈N^*，均有S_n＞0，則數列{S_n}是遞增數列．

Answer 1

考點：等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：由等差數列的求和公式可得S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=

d

2

n²+（a₁+

d

2

）n，可看作關于n的二次函數，由二次函數的性質逐個選項驗證可得．

解答： 解：由等差數列的求和公式可得S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=

d

2

n²+（a₁+

d

2

）n，
選項①，若d＜0，由二次函數的性質可得數列{S_n}有最大項，故正確；
選項②，若數列{S_n}有最大項，則對應拋物線開口向下，則有d＜0，故正確；
選項③，若對任意n∈N^*，均有S_n＞0，對應拋物線開口向上，d＞0，
可得數列{S_n}是遞增數列，故正確；
選項④，若數列{S_n}是遞增數列，則對應拋物線開口向上，
但不一定有任意n∈N^*，均有S_n＞0，故錯誤．
故答案為：①②③

點評：本題考查等差數列的性質和求和公式，屬基礎題．