Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+bx在區(qū)間[-1，1），（1，3]內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求a²-4b的最大值；
（Ⅱ）當(dāng)a²-4b=8時(shí)，設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線為l，若在點(diǎn)A處穿過y=f（x）的圖象（即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)A附近沿曲線y=f（x）運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，從l的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù)f（x）的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零，導(dǎo)數(shù)在區(qū)間[-1，1），（1，3]各有一根
（Ⅱ）切線l在點(diǎn)A處穿過y=f（x）的圖象，切線在該點(diǎn)的一側(cè)在y=f（x）的圖象上邊，切線在該點(diǎn)的另一側(cè)在y=f（x）的圖象下邊，構(gòu)造函數(shù)該點(diǎn)不是新函數(shù)的極值點(diǎn)求值．

解答：解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+bx在區(qū)間[-1，1），（1，3]內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn)，所以f'（x）=x²+ax+b=0在[-1，1），（1，3]內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根，
設(shè)兩實(shí)根為x₁，x₂（x₁＜x₂），則x2-x1=

a2-4b

，且0＜x₂-x₁≤4．于是0＜

a2-4b

≤4，0＜a²-4b≤16，且當(dāng)x₁=-1，x₂=3，即a=-2，b=-3時(shí)等號(hào)成立．故a²-4b的最大值是16．
（II）解法一：由f'（1）=1+a+b知f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線l的方程是y-f（1）=f'（1）（x-1），即y=(1+a+b)x-

2

3

-

1

2

a，
因?yàn)榍芯�l在點(diǎn)A（1，f（1））處穿過y=f（x）的圖象，
所以g(x)=f(x)-[(1+a+b)x-

2

3

-

1

2

a]在x=1兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，則x=1不是g（x）的極值點(diǎn)．
而g（x）=

1

3

x3+

1

2

ax2+bx-(1+a+b)x+

2

3

+

1

2

a，且g'（x）=x²+ax+b-（1+a+b）=x²+ax-a-1=（x-1）（x+1+a）．
若1≠-1-a，則x=1和x=-1-a都是g（x）的極值點(diǎn)．
所以1=-1-a，即a=-2．又由a²-4b=8，得b=-1．故f(x)=

1

3

x3-x2-x．
解法二：同解法一得g(x)=f(x)-[(1+a+b)x-

2

3

-

1

2

a]=

1

3

(x-1)[x2+(1+

3a

2

)x-(2+

3

2

a)]．
因?yàn)榍芯�l在點(diǎn)A（1，f（1））處穿過y=f（x）的圖象，所以g（x）在x=1兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)．于是存在m₁，m₂（m₁＜1＜m₂）．
當(dāng)m₁＜x＜1時(shí)，g（x）＜0，當(dāng)1＜x＜m₂時(shí)，g（x）＞0；
或當(dāng)m₁＜x＜1時(shí)，g（x）＞0，當(dāng)1＜x＜m₂時(shí)，g（x）＜0．
設(shè)h(x)=x2+(1+

3a

2

)x-(2+

3a

2

)，則
當(dāng)m₁＜x＜1時(shí)，h（x）＞0，當(dāng)1＜x＜m₂時(shí)，h（x）＞0；
或當(dāng)m₁＜x＜1時(shí)，h（x）＜0，當(dāng)1＜x＜m₂時(shí)，h（x）＜0．
由h（1）=0知x=1是h（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，則h′(1)=2×1+1+

3a

2

=0．
所以a=-2．又由a²-4b=8，得b=-1，故f(x)=

1

3

x3-x2-x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，函數(shù)為極值的條件，構(gòu)造函數(shù)能力．