精英家教網(wǎng)已知:正方體ABCD-A1B1C1D1,棱長AA1=2,
(1)E為棱CC1的中點(diǎn),求證:B1D1⊥AE;
(2)求:二面角C-AE-B的平面角的正切值;
(3)求:點(diǎn)D1到平面EAB的距離.
分析:(1)連接A1C1,根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征得到A1C1是AE在平面A1C1上的射影,進(jìn)而根據(jù)三垂線定理得到B1D1⊥AE.
(2)連接BD交AC于O,過B點(diǎn)作BF⊥AE交AE于F,連接OF,可得∠BFO是二面角B-AE-C的平面角,根據(jù)相似三角形性質(zhì)求出OF后,解三角形BOF即可,得到二面角B-AE-C的平面角
(3)過C1作C1G⊥BE交BE的延長線于G,可證得D1C1∥平面ABE,即D1到平面ABE的距離等于C1到平面ABE的距離,即C1G長,根據(jù)相似三角形的性質(zhì),可求出點(diǎn)D1到平面EAB的距離
解答:解:精英家教網(wǎng)(1)證明:連接A1C1,
∵AA1⊥平面A1C1
∴A1C1是AE在平面A1C1上的射影,
在正方形A1B1C1D1中,B1D1⊥A1C1
∴B1D1⊥AE
(2)連接BD交AC于O,過B點(diǎn)作BF⊥AE交AE于F,連接OF
∵EC⊥平面AC在正方形ABCD中,BD⊥AC,∴BD⊥平面ACE
∴OF是BF在平面EAC上的射影,∴AE⊥FO∴∠BFO是二面角B-AE-C的平面角
在正方形ABCD中,BO=AO=
1
2
AC=
2

在Rt△ACE中,AE=3,∵△AOF∽△AEC,
OA
OF
=
AE
EC

∴OF=
OA•EC
AE
=
2
3

在Rt△BOF中,tan∠BFO=
OB
OF
=3
(3)過C1作C1G⊥BE交BE的延長線于G,∵AB⊥平面BC1,G1G?平面BC1,
∴AB⊥C1G,∴C1G⊥平面ABE,
∵D1C1∥AB,D1C1?平面ABE,
∴D1C1∥平面ABE,
∴D1到平面ABE的距離等于C1到平面ABE的距離
∵△C1GE∽△BCE,
∴C1G:C1E=BC:BE,
∴C1G=
BC•C1E
BE
=
2
5
5

∴D1到面ABE的距離等于
2
5
5
點(diǎn)評:本題考查的知識點(diǎn)是二面角的平面角及求法,點(diǎn)到平面的距離,線線垂直的判定,其中(1)的關(guān)鍵是用三垂線定理證明線線垂直,(2)的關(guān)鍵是確定∠BFO是二面角B-AE-C的平面角,(3)的關(guān)鍵是證得D1到平面ABE的距離等于C1到平面ABE的距離.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知:正方體ABCD-A1B1C1D1,AA1=2,E為棱CC1的中點(diǎn).
(1)求證:B1D1⊥AE;
(2)求證:AC∥平面B1DE;
(3)(文)求三棱錐A-BDE的體積.
(理)求三棱錐A-B1DE的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知單位正方體ABCD-A1B1C1D1,E分別是棱C1D1的中點(diǎn),試求:
(1)AE與平面BB1C1C所成的角的正弦值;
(2)二面角C1-DB-A的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是D1D、BD的中點(diǎn),G在棱CD上,且CG=
14
CD.
(I)求證:EF⊥B1C;
(Ⅱ)求EF與C1G所成角的余弦值;
(Ⅲ)求二面角F-EG-C1的大。ㄓ梅慈呛瘮(shù)表示).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2007•河?xùn)|區(qū)一模)已知:正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1.
(Ⅰ)求棱AA1與平面A1BD所成的角;
(Ⅱ)求二面角B-A1D-B1的大。
(Ⅲ)求四面體A1-BB1D的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知單位正方體ABCD-A1B1C1D1對棱BB1,DD1上有兩個動點(diǎn)E、F,BE=D1F,設(shè)EF與面AB1所成角為α,與面BC1所成角為β,則α+β的最大值為
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案