Question

13．對于雙曲線C_{（a，b）}：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），若點P（x₀，y₀）滿足$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$＜1，則稱P在的C_{（a，b）}外部；若
若點P（x₀，y₀）滿足$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$＞1，則稱P在的C_{（a，b）}內部：
（1）證明：直線3x-y+1=0上的點都在C_{（1，1）}的外部；
（2）若點M的坐標為（0，-1），點N在C_{（1，1）}的內部或C_{（1，1）}上，求|$\overrightarrow{MN}$|的最小值；
（3）若C_（a，b）經過點（2，1），圓x²+y²=r²（r＞0）在C_（a，b）內部及C_{（a，b）}上的點構成的圓弧長等于該圓周長的一半，求b、r滿足的關系式及r的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設直線y=3x+1上點P（x₀，3x₀+1），求出x₀²-y₀²關于x₀的二次函數，求得最大值，證明小于1即可；
（2）由題意可得x₀²-y₀²≥1，即x₀²≥y₀²+1，運用兩點的距離公式，配方即可得到MN的最小值；
（3）將（2，1）代入雙曲線的方程，由圓和雙曲線的相交的弦長相等，弦所對的圓周角均為90°，且均為$\sqrt{2}$r，聯(lián)立圓的方程和雙曲線的方程，求得交點坐標，可得弦長，化簡整理可得b，r的關系式和r的范圍

解答 解：（1）證明：設直線y=3x+1上點P（x₀，3x₀+1），
即有x₀²-y₀²=x₀²-（3x₀+1）²=-8x₀²-6x₀-1
=-8（x₀+$\frac{3}{8}$）²+$\frac{1}{8}$，
當x₀=-$\frac{3}{8}$時，取得最大值$\frac{1}{8}$，
即點P（x₀，y₀）滿足$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$＜1，
故直線3x-y+1=0上的點都在C_{（1，1）}的外部；
（2）點N（x₀，y₀）在C_（1，1）的內部或C_{（1，1）}上，
可得x₀²-y₀²≥1，即x₀²≥y₀²+1，
|MN|=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+（{y}_{0}+1）^{2}}$≥$\sqrt{{{y}_{0}}^{2}+1+（{y}_{0}+1）^{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{{y}_{0}}^{2}+{y}_{0}+1}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{y}_{0}+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$，
當y₀=-$\frac{1}{2}$時，|MN|取得最小值，且為$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
（3）若C_（a，b）過點（2，1），可得$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{^{2}}$=1，
即為a²=$\frac{4^{2}}{1+^{2}}$，
由圓和雙曲線的相交的弦長相等，
弦所對的圓周角均為90°，且均為$\sqrt{2}$r，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}={r}^{2}}\\{^{2}{x}^{2}-{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}^{2}}\end{array}\right.$，解得y=±$\frac{b\sqrt{{r}^{2}-{a}^{2}}}{c}$，
可得$\sqrt{2}$r=$\frac{2b\sqrt{{r}^{2}-{a}^{2}}}{c}$，
化簡可得r²=$\frac{2{a}^{2}^{2}}{2^{2}-{c}^{2}}$=$\frac{2{a}^{2}^{2}}{^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{8^{4}}{^{2}（^{2}-3）}$=$\frac{8^{2}}{^{2}-3}$，
令b²-3=t（t＞0），則r²=$\frac{8（t+3）}{t}$＞8，
即有r＞2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查雙曲線的內部或外部的理解和運用，注意運用轉化思想，考查二次函數的最值的求法，以及直線和圓的位置關系，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．