Question

已知直線l經(jīng)過橢圓

y2

2

+x2=1的焦點并且與橢圓相交于P，Q兩點，線段PQ的垂直平分線與x軸相交于點M，則△MPQ面積的最大值為

3 6

8

．

Answer 1

分析：設(shè)出直線的方程利用直線與橢圓聯(lián)立方程組，求出AB的距離，求出AB的中點與M的距離，推出三角形的面積的表達式，利用基本不等式求出面積的最大值即可．

解答：解：由題意可知直線的斜率存在，
所以設(shè)直線l的方程為y=kx+1，M（m，0）；
由

y=kx+1 y2 2 +x2=1

可得（k²+2）x²+2kx-1=0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=

-2k

k2+2

，x₁x₂=-

1

k2+2

．
可得y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=

4

k2+2

．
設(shè)線段PQ中點為N，則點N的坐標(biāo)為（

-k

k2+2

，

2

k2+2

），直線MN的方程為：y-

2

k2+2

=-

1

k

（x-

-k

k2+2

），
m=

k

k2+2

，M（

k

k2+2

，0），|MN|=

( -k k2+2 - k k2+2 )2+( 2 k2+2 )2

 =

2 k2+1

k2+2

，
|PQ|=

1+k2

•

( -2k k2+2 )2+ 4 k2+2

=

2 2 (k2+1)

k2+2

△MPQ的面積為

1

2

|PQ|•|MN|=

1

2

×

2 2 (k2+1)

k2+2

×

2 k2+1

k2+2

=

2 2 (k2+1) k2+1

(k2+2)2

令t=

k2+1

≥1，
g（t）=

t3

(t2+1)2

．g′（t）=

3t2(t2+1)-4t4(t2+1)

(t2+1)4

，
令g′（t）=0，可得t=

3

時，三角形的面積最大，
所以所求面積的最大值為：

2 2 ( 3 )3

(3+1)2

=

3 6

8

．
故答案為：

3 6

8

．

點評：本題考查m的取值范圍和求△MPQ面積的最大值．解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．