Question

隨著恩施經(jīng)濟的高速增長，恩施城區(qū)交通出現(xiàn)了較嚴重的擁堵現(xiàn)象，專家建議，提高清江河上過江大橋的車輛通行能力可以適當改善城市的交通狀況．以施州大橋為研究對象，已知大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)，當橋上的車流密度達到或超過200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度v=0；當車流密度不超過40輛/千米時，車流速度v=80千米/小時；研究表明：當40≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．
（1）當x≥0時，求車流速度函數(shù)v（x）的表達式；通常為保護大橋，延長使用壽命，過橋車輛限定最高時速，試問這座大橋限速多少千米/小時？
（2）當車流密度x為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時）f（x）=v•v（x）達到最大值，并求出最大值．

Answer 1

考點：根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型

專題：應用題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)題意，函數(shù)v（x）表達式為分段函數(shù)的形式，關鍵在于求函數(shù)v（x）在40＜x≤200時的表達式，根據(jù)一次函數(shù)表達式的形式，用待定系數(shù)法可求得；
（2）當0≤x≤40，f（x）=80x≤3200；當40＜x≤200時，f(x)=-

1

2

x2+100x≤f(100)=5000，可得結論．

解答： 解：當x＞200時，v（x）=0；當0≤x≤40，v（x）=80；當40≤x≤200，
設v（x）=kx+b（a、b為常數(shù)）
則

40k+b=80 200k+b=0

，
∴k=-

1

2

，b=100，
∴v（x）=

80，0≤x≤40 - 1 2 x+100，40＜x≤200 0，x＞200

，
∵v（x）≤v（x）_max=80，
∴這座大橋限速為80千米/小時；
（2）f（x）=v•v（x）=

80x，0≤x≤40 - 1 2 x2+100x，40＜x≤200 0，x＞200

當0≤x≤40，f（x）=80x≤3200；
當40＜x≤200時，f(x)=-

1

2

x2+100x≤f(100)=5000，
所以當x=100輛/千米時，f（x）_max=5000輛/小時．

點評：本題主要考查函數(shù)、最值等基礎知識，同時考查運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，屬于中等題．