Question

17．設(shè)常數(shù)a＞0，（x²+$\frac{a}{x}$）⁵的二項(xiàng)展開式中x⁴項(xiàng)的系數(shù)為40，記等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₂+a₄=6，S₄=5a，則a₁₀=10．

Answer 1

分析 由條件利用二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得 a=2．再由條件利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求得 a₃和a₂ 的值，可得a₁₀的值．

解答 解：設(shè)常數(shù)a＞0，（x²+$\frac{a}{x}$）⁵的二項(xiàng)展開式中的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{5}^{r}$•a^r•x^10-3r，
令10-3r=4，求得r=2，可得x⁴項(xiàng)的系數(shù)為${C}_{5}^{2}$•a²=40，∴a=2．
記等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，∵已知a₂+a₄=2a₃=6，∴a₃=3．
∵S₄=5a=10=$\frac{4{（a}_{1}{+a}_{4}）}{2}$=$\frac{4{（a}_{2}{+a}_{3}）}{2}$=2（a₂+3），∴a₂=2，∴d=a₃-a₂=3-2=1，
則a₁₀=a₃+7d=3+7•1=10，
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．