已知離心率為的橢圓C:(a>b>0)與過點A(5,0),B(0,)的直線有且只有一個公共點M.
(1)求橢圓C的方程及點M的坐標(biāo);
(2)是否存在過點M的直線l,依次交橢圓C、x軸、y軸于點N(異于點M)、P、Q,且滿足,若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)根據(jù)橢圓的離心率為,可得a2=2b2,求出過點A(5,0),B(0,)的直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,利用過點A(5,0),B(0,)的直線與橢圓有且只有一個公共點M,即可求得橢圓C的方程及M的坐標(biāo);
(2)假設(shè)存在直線l,滿足題意,根據(jù)直線l依次交橢圓C、x軸、y軸于點N(異于點M)、P、Q,且滿足,可得M,N是線段PQ的三等份點,求出N的坐標(biāo)代入橢圓方程,即可得到結(jié)論.
解答:解:(1)∵橢圓的離心率為


∴a2=2b2
∴橢圓C:可化為:x2+2y2=2b2
過點A(5,0),B(0,)的直線方程為
①②聯(lián)立,消去x可得:10
∵過點A(5,0),B(0,)的直線與橢圓有且只有一個公共點M
∴△=800-40(25-2b2)=0
,∴a2=5
∴橢圓C的方程為
時,方程③的根為y=,代入②可得x=1,∴M(1,
(2)假設(shè)存在直線l,滿足題意.
∵直線l依次交橢圓C、x軸、y軸于點N(異于點M)、P、Q,且滿足,
∴M,N是線段PQ的三等分點
∵M(jìn)(1,),∴根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì),可得N(2,
代入橢圓方程,顯然成立
∴存在直線l,滿足題意,此時直線的方程為:
即x+-3=0
點評:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查存在性問題,將直線l依次交橢圓C、x軸、y軸于點N(異于點M)、P、Q,且滿足,轉(zhuǎn)化為M,N是線段PQ的三等份點是解題的關(guān)鍵.
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(1)求橢圓C的方程;

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已知離心率為的橢圓C:過(1,
(1)求橢圓C的方程;
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已知離心率為的橢圓C:+=1(a>b>0)過點M(,1,O是坐標(biāo)原點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點A、B為橢圓C上相異兩點,且,判定直線AB與圓O:x2+y2=的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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已知離心率為的橢圓C:的左焦點為F,上頂點為E,直線EF截圓x2+y2=1所得弦長為
(1)求橢圓C的方程;
(2)過D(-2,0)的直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B,.試探究的取值范圍.

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