Question

5．已知函數(shù)f（x）=2x-lnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值；
（Ⅱ）若對任意x≥1，函數(shù)f（x）的圖象總在直線y=ax-2的上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，由此能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值；
（Ⅱ）分離參數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≤2-$\frac{lnx}{x}$+$\frac{2}{x}$在x∈[1，+∞）恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，由此能求出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2x-lnx的定義域是（0，+∞），
∴f′（x）=2-$\frac{1}{x}$=$\frac{2x-1}{x}$，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞減，在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞增，
∴f（x）_最小值=f（$\frac{1}{2}$）=1+ln2；
（Ⅱ）若對任意x≥1，函數(shù)f（x）的圖象總在直線y=ax-2的上方，
則2x-lnx-ax+2≥0在x∈[1，+∞）恒成立，
即a≤2-$\frac{lnx}{x}$+$\frac{2}{x}$在x∈[1，+∞）恒成立，
令h（x）=2-$\frac{lnx}{x}$+$\frac{2}{x}$，（x≥1），h′（x）=$\frac{lnx-3}{{x}^{2}}$，
令h′（x）＞0，解得：x＞e³，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜e³，
∴h（x）在（0，e³）遞減，在（e³，+∞）遞增，
∴h（x）_min=h（e³）=2-$\frac{1}{{e}^{3}}$，
∴a≤2-$\frac{1}{{e}^{3}}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．