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已知函數f(x)=x4+ax3+bx2+c,其圖象在y軸上的截距為-5,在區(qū)間[0,1]上單調遞增,在[1,2]上單調遞減,又當x=0,x=2時取得極小值.
(Ⅰ)求函數f(x)的解析式;
(Ⅱ)能否找到垂直于x軸的直線,使函數f(x)的圖象關于此直線對稱,并證明你的結論;
*(Ⅲ)設使關于x的方程f(x)=λ2x2-5恰有三個不同實根的實數λ的取值范圍為集合A,且兩個非零實根為x1、x2.試問:是否存在實數m,使得不等式m2+tm+2≤|x1-x2|對任意t∈[-3,3],λ∈A恒成立?若存在,求m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

解:(Ⅰ)∵函數f(x)=x4+ax3+bx2+c,在y軸上的截距為-5,∴c=-5.
∵函數f(x)在區(qū)間[0,1]上單調遞增,在[1,2]上單調遞減,
∴x=1時取得極大值,又當x=0,x=2時函數f(x)取得極小值.
∴x=0,x=1,x=2為函數f(x)的三個極值點,
即f'(x)=0的三個根為0,1,2,∴f'(x)=4x3+3ax2+2bx=4x(x-1)(x-2))=4x3-12x2+8x.
∴a=-4,b=4,
∴函數f(x)的解析式:f(x)=x4-4x3+4x2-5.
(Ⅱ)若函數f(x)存在垂直于x軸的對稱軸,設對稱軸方程為x=t,
則f(t+x)=f(t-x)對x∈R恒成立.
即:(t+x)4-4(t+x)3+4(t+x)2-5=(t-x)4-4(t-x)3+4(t-x)2-5.
化簡得(t-1)x3+(t3-3t2+2t)x=0對x∈R恒成立.
∴t=1.
即函數f(x)存在垂直于x軸的對稱軸x=1.
(Ⅲ)x4-4x3+4x2-5=λ2x2-5恰好有三個不同的根,即x4-4x3+4x22x2=0恰好有三個不同的根,
即x2(x2-4x+4-λ2)=0,
∵x=0是一個根,
∴方程x2-4x+4-λ2=0應有兩個非零的不相等的實數根,
∴△=16-4(4-λ2)=4λ2>0,且x1x2=4-λ2≠0,∴λ≠0,-2,2.
若存在實數m,使得不等式m2+tm+2≤|x1-x2|對任意t∈[-3,3],λ∈A恒成立.
∵|x1-x2|==2|λ|>0,
要使m2+tm+2≤|x1-x2|對任意t∈[-3,3],λ∈A恒成立,只要m2+tm+2≤0對任意t∈[-3,3]恒成立,
令g(t)=tm+m2+2,則g(t)是關于t的線性函數.
∴只要解得,無解
∴不存在實數m,使得不等式m2+tm+2≤|x1-x2|對任意t∈[-3,3],λ∈A恒成立.
分析:(Ⅰ)利用函數在y軸上的截距為-5,可求得c=-5.根據函數f(x)在區(qū)間[0,1]上單調遞增,在[1,2]上單調遞減,可得x=1時取得極大值,當x=0,x=2時函數f(x)取得極小值.可知x=0,x=1,x=2為函數f(x)的三個極值點,
從而f'(x)=0的三個根為0,1,2,∴由此可求函數f(x)的解析式;
(Ⅱ)假設存在對稱軸方程為x=t,則f(t+x)=f(t-x)對x∈R恒成立.代入化簡得(t-1)x3+( t3-3 t2+2t)x=0對x∈R恒成立,從而可出對稱軸x=1.
(Ⅲ)x4-4x3+4x2-5=λ2x2-5恰好有三個不同的根,等價于x4-4x3+4x22x2=0恰好有三個不同的根,由于x=0是一個根,所以方程x2-4x+4-λ2=0應有兩個非零的不相等的實數根,從而可求λ的取值范圍.要使m2+tm+2≤|x1-x2|對任意t∈[-3,3],λ∈A恒成立,可轉化為m2+tm+2≤0對任意t∈[-3,3]恒成立,構造函數g(t)=tm+m2+2,只要,從而可知不存在實數m,使得不等式m2+tm+2≤|x1-x2|對任意t∈[-3,3],λ∈A恒成立.
點評:本題考查多項式的導數、函數的圖象性質、二次方程根的判斷,等價轉換、化歸思想等數學思想方法.解題時對恒成立問題的處理是關鍵.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數,且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數t的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數學 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數學 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數,且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數t的取值范圍.

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