Question

如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為2a的正方形，平面ADEF垂直于平面ABCD，且FA⊥AD，EF∥AD，EF=AF=a．
（1）求證：BD⊥CF；
（2）若P、Q分別為棱BF和DE的中點，求證：PQ∥平面ABCD；
（3）求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)AC，由已知得BD⊥AC，F(xiàn)A⊥平面ABCD，BD⊥AF，由此能證明BD⊥CF．
（2）作PS⊥AB，QT⊥AD，EM⊥AD，S，T，M是垂足，由已知得四邊形PSTQ是平行四邊形，由此能證明PQ∥平面ABCD．
（3）多面體ABCDEF的體積V=V_{四棱錐P-ABCD}+V_{三棱錐C-DEF}，由此能求出結(jié)果．

解答： （1）證明：連結(jié)AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵平面ABCD⊥平面ADEF，AF⊥AD，AD是兩平面的交線，
∴FA⊥平面ABCD，而BD?平面ABCD，∴BD⊥AF，
又∵AC∩FA=A，
∴BD⊥平面AFC，而CF?平在AFC，∴BD⊥CF．
（2）證明：作PS⊥AB，QT⊥AD，EM⊥AD，S，T，M是垂足，
在△ABF中，PS：AF=BP：BF=1：2，PS=

1

2

AF，
在直角梯形中ADEF中，QT=

1

2

EM=

1

2

AF，
∴PF

∥

.

QT，∴四邊形PSTQ是平行四邊形，∴PQ∥ST，
∴四邊形PSTQ是平行四邊形，∴PQ∥ST，
而ST?平面ABCD，∴PQ∥平面ABCD．
（3）解：多面體ABCDEF的體積：
V=V_{四棱錐P-ABCD}+V_{三棱錐C-DEF}
=

1

3

×(2a)2×a+

1

3

×

1

2

×a2×2a=

5

3

a2．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，考查多面體的體積的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．