Question

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂．橢圓上兩點(diǎn)A、B滿足：△ABF₂的周長為8，點(diǎn)F₁在邊AB上，cos∠ABF₂=

3

5

，|BF₂|=

3

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點(diǎn)P為橢圓的右頂點(diǎn)，直線l：y=kx+m與橢圓C交于兩點(diǎn)M，N（M，N不是左右頂點(diǎn)），且

PM

⊥

PN

．試說明：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題設(shè)條件結(jié)合橢圓性質(zhì)利用余弦定理推導(dǎo)出a=2，c²=1．由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），將y=kx+m代入橢圓方程得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．由此利用韋達(dá)定理和向量知識(shí)能證明直線l：y=k（x-

7

2

）恒過定點(diǎn)（

7

2

，0）．

解答： （1）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，
橢圓上兩點(diǎn)A、B滿足：△ABF₂的周長為8，
點(diǎn)F₁在邊AB上，cos∠ABF₂=

3

5

，|BF₂|=

3

2

，
∴4a=8，解得a=2，
|BF₁|=2a-

3

2

=4-

3

2

=

5

2

，
cos∠ABF₂=

( 5 2 )2+( 3 2 )2-(2c)2

2× 5 2 × 3 2

=

3

5

，解得c²=1．
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
將y=kx+m代入橢圓方程得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴x₁+x₂=

-8km

4k2+3

，x₁x₂=

4m2-12

4k2+3

，
∵y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m，
∴y₁y₂=k²x₁x₂+（km-2）（x₁+x₂）+m²，
∵點(diǎn)P為橢圓的右頂點(diǎn)，且

PM

⊥

PN

，
∴P（2，0），

PM

=（x₁-2，y₁），

PN

=（x₂-2，y₂），
∴

PM

•

PN

=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，
∴7m²+16km+4k²=0，
∴m=-

2

7

k或m=-2k都滿足△＞0，
若m=-2k直線l恒過定點(diǎn)（2，0）不合題意舍去，
若m=-

2

7

k直線l：y=k（x-

7

2

）恒過定點(diǎn)（

7

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線恒過定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．