Question

已知數(shù)列{a_n}，a_n∈N^*，前n項(xiàng)和S_n=

1

8

（a_n+2）²．
（1）求證：{a_n}是等差數(shù)列；
（2）若b_n=

1

2

a_n-30，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和的最小值．

Answer 1

分析：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與其前n項(xiàng)和的關(guān)系、等差數(shù)列的證明、數(shù)列的求和等綜合性問題．
（1）根據(jù)a_n+1=S_n+1-S_n及前n項(xiàng)和S_n=

1

8

（a_n+2）²，可以得到（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-4）=0，從而問題得證．
（2）由（1）可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而由b_n=

1

2

a_n-30得到數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，再由此求其最小值，最小值有兩種求法，其一是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值，其二是找出正負(fù)轉(zhuǎn)折的項(xiàng)．

解答：解：（1）證明：∵a_n+1
=S_n+1-S_n
=

1

8

（a_n+1+2）²-

1

8

（a_n+2）²，
∴8a_n+1=（a_n+1+2）²-（a_n+2）²，
∴（a_n+1-2）²-（a_n+2）²=0，（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-4）=0．
∵a_n∈N^*，∴a_n+1+a_n≠0，
∴a_n+1-a_n-4=0．
即a_n+1-a_n=4，∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
（2）由（1）知a₁=S₁=

1

8

（a₁+2）²，解得a₁=2．∴a_n=4n-2，
b_n=

1

2

a_n-30=2n-31，（以下用兩種方法求解）
法一：
由b_n=2n-31可得：首項(xiàng)b₁=-29，公差d=2
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和s_n=n²-30n=（n-15）²-225
∴當(dāng)n=15時(shí)，s_n=225為最�。�
法二：
由

2n-31≤0 2(n+1)-31≥

0得

29

2

≤n≤

31

2

．∵n∈N^*，∴n=15，
∴{a_n}前15項(xiàng)為負(fù)值，以后各項(xiàng)均為正值．
∴S_5最小．又b₁=-29，
∴S₁₅=

15(-29+2×15-31)

2

=-225

點(diǎn)評：本題的（2）中求s_n的最值問題是數(shù)列中較為常見的一種類型，主要方法有兩種：
法一只適用于等差數(shù)列的和的最值問題，對于其他數(shù)列，因?yàn)椴荒苻D(zhuǎn)化為關(guān)于n的二次函數(shù)，所以無法使用，有一定的局限性；
法二是常規(guī)方法，使用范圍廣，其特點(diǎn)是找到遞增或遞減的數(shù)列中正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)的轉(zhuǎn)折“點(diǎn)”而得到答案．