Question

17．已知函數(shù)f（x）=x²-2x+2．
（Ⅰ）若關于x的不等式f（x）＜mx的解集為（1，2），求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）設函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$（x＞0），求函數(shù)g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x²-（2+m）x+2＜0的解集為（1，2），由此能求出m．
（Ⅱ）由已知得函數(shù)g（x）=x+$\frac{2}{x}$-2，由此利用均值定理能求出函數(shù)g（x）取最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=x²-2x+2，關于x的不等式f（x）＜mx的解集為（1，2），
∴x²-（2+m）x+2＜0的解集為（1，2），
∴x²-（2+m）x+2=0的兩個根為1和2，
∴1+2=2+m，
解得m=1．
（Ⅱ）∵g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{x}$=x+$\frac{2}{x}$-2，（x＞0），
∴函數(shù)g（x）=x+$\frac{2}{x}$-2≥2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$-2=2$\sqrt{2}$-2．
當且僅當x=$\frac{2}{x}$，即x=$\sqrt{2}$時，
函數(shù)g（x）取最小值2$\sqrt{2}$-2．

點評 本題考查實數(shù)值的求法，考查函數(shù)的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意均值定理的合理運用．