Question

點A、B分別是以雙曲線的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓C長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓C上，且位于x軸上方， 

（1）求橢圓C的的方程；

（2）求點P的坐標；

（3）設M是橢圓長軸AB上的一點，點M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到M的距離d的最小值。

 

Answer 1

【答案】

（1） ；（2）點P的坐標為；

（3）當時，d取最小值 。

【解析】

試題分析：（I）求出雙曲線的焦點、頂點，得出橢圓的a，c，b即可求出橢圓標準方程．

（Ⅱ）點P的坐標為（x，y），由已知得，與(x+6)(x-4)+y²=0

解方程組可得點P的坐標

（Ⅲ）設點M是（m，0）于是=|m-6|，解出m=2，建立橢圓上的點到M的距離d的表達式，用函數知識求最值。

（1）已知雙曲線實半軸a₁=4，虛半軸b₁=2，半焦距c₁=，

∴橢圓的長半軸a₂=c₁=6，橢圓的半焦距c₂=a₁=4，橢圓的短半軸=，

∴所求的橢圓方程為                    …………4分

（2）由已知,，設點P的坐標為，則

由已知得

              …………6分

則，解之得，       

由于y>0，所以只能取，于是，所以點P的坐標為……8分

（3）直線，設點M是，則點M到直線AP的距離是，于是，

又∵點M在橢圓的長軸上，即         …………10分

∴當時，橢圓上的點到的距離

   

又   ∴當時，d取最小值          …………12分

考點：本題主要考查了圓錐曲線的幾何性質、標準方程、距離求解．考查函數知識、方程思想、計算能力．

點評：解決該試題的關鍵是熟練的運用雙曲線的性質來表示出橢圓的a,b,c，進而得到方程，同時聯(lián)立方程組，結合韋達定理求點的坐標，進而分析最值。