(2012•武清區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=7
3
sinxcosx+7sin2x-
5
2
,x∈R.
(Ⅰ)若f(x)的單調(diào)區(qū)間(用開區(qū)間表示);
(Ⅱ)若f(
a
2
-
π
6
)=1+4
3
,f(
a
2
-
12
)=2,求sin(
a
2
-
π
3
)的值.
分析:(Ⅰ)利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f(x)的解析式為7sin(2x-
π
6
)+1,令 2kπ-
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
π
2
,k∈z,求出增區(qū)間,由 2kπ+
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
2
,k∈z,求出減區(qū)間.
(Ⅱ)由 f(
a
2
-
π
6
)=1+4
3
,求得cosa=
-4
3
7
.由f(
a
2
-
12
)=2,求得sina=-
1
7
.可得a為第三象限角,故 
a
2
是第二或第四象限角.分類求出cos
a
2
和sin
a
2
的值,利用兩角差的正弦公式求出sin(
a
2
-
π
3
)的值.
解答:解:(Ⅰ)由題意得:函數(shù)f(x)=7
3
sinxcosx+7sin2x-
5
2
=
7
3
2
sin2x+7×
1-cos2x
2
-
5
2
 
=7(
3
2
sin2x-
1
2
cos2x)+1=7sin(2x-
π
6
)+1.
令 2kπ-
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
π
2
,k∈z,可得 kπ-
π
6
≤x≤kπ+
π
3
,k∈z,
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-
π
6
,kπ+
π
3
],k∈z.
令 2kπ+
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
2
,k∈z,可得 kπ+
π
3
≤x≤kπ+
6
,k∈z,
故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+
π
3
≤x≤kπ+
6
],k∈z.
(Ⅱ)∵f(
a
2
-
π
6
)=1+4
3

∴7sin[2(
a
2
-
π
6
)-
π
6
]+1=7sin(a-
π
2
)+1=-7cosa+1=1+4
3
,
∴cosa=
-4
3
7

∵f(
a
2
-
12
)=2,∴7sin[2(
a
2
-
12
)-
π
6
]+1=7sin[a-π]+1=-7sina+1=2,
∴sina=-
1
7

故a為第三象限角,且 2kπ+π<a<2kπ+
4
,k∈z,故 kπ+
π
2
a
2
<kπ+
8
,k∈z.
故 
a
2
是第二或第四象限角.
當(dāng) 
a
2
是第二象限角時(shí),sin 
a
2
=
1-cosa
2
=
7+4
3
14
=
2+
3
14

cos 
a
2
=-
1+cosa
2
=-
7-4
3
14
=-
2-
3
14
. 
sin(
a
2
-
π
3
)=sin 
a
2
 cos
π
3
-cos
a
2
sin
π
3
=
2+
3
14
×
1
2
-( -
2-
3
14
)×
3
2
=
3
3
-1
2
14

當(dāng) 
a
2
是第四象限角時(shí),sin 
a
2
=-
1-cosa
2
=-
7+4
3
14
=-
2+
3
14

cos 
a
2
=
1+cosa
2
=
7-4
3
14
=
2-
3
14
. 
sin(
a
2
-
π
3
)=sin 
a
2
 cos
π
3
-cos
a
2
sin
π
3
=-
2+
3
14
×
1
2
-
2-
3
14
×
3
2
=
1-3
3
2
14
點(diǎn)評:本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值,正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
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1
x
-
x
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a2
-
y2
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