Question

（2010•湖北模擬）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為棱AB的中點，則異面直線DM與D₁B所成角的余弦值為（　�。�

• A．

  15

  6

• B．

  15

  5

• C．

  15

  3

• D．

  15

  10

Answer 1

分析：取CD的中點為N，連接BN，根據(jù)題意并且結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征可得DM∥BN，所以異面直線DM與D₁B所成角等于直線BN與D₁B所成角或者其補(bǔ)角，再利用解三角形的有關(guān)知識求出答案．

解答：解：取CD的中點為N，連接BN，

因為在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為棱AB的中點，
所以DM∥BN，
所以異面直線DM與D₁B所成角等于直線BN與D₁B所成角．
設(shè)正方體的棱長為2，所以D₁N=

5

，BN=

5

，D₁B=2

3

，
所以在△D₁BN中，由余弦定理可得：cos∠D₁BN=

15

5

．
故選B．

點評：本題主要考查了異面直線及其所成的角，解決此題題的關(guān)鍵是通過平移作出與異面直線所成角相等或者互補(bǔ)的角，再利用解三角形的有關(guān)求出角，此題也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量之間的運(yùn)算求出異面直線的夾角，此題考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力．