Question

已知等差數列{a_n}的前n項的和記為S_n．如果a₄＝－12，a₈＝－4．

(1)求數列{a_n}的通項公式；(2)求S_n的最小值及其相應的n的值；

(3)從數列{a_n}中依次取出a₁，a₂，a₄，a₈，…，，…，構成一個新的數列{b_n}，

求{b_n}的前n項和

 

Answer 1

【答案】

解：（1）a_n＝2n－20．

（2）當n＝9或n＝10時，S_n取得最小值為S₉＝S₁₀＝－90．

（3）T_n＝2ⁿ⁺¹－20n－2．

【解析】本題考查等差數列的通項公式，及數列求和公式，本題解答中的亮點在于利用等差數列的通項公式分析S_n的最值，顯然比利用其求和公式，通過二次函數的配方法求最值方便的多

（Ⅰ）可設等差數列{a_n}的公差為d，由a₄=-12，a₈=-4，可解得其首項與公差，從而可求得數列{a_n}的通項公式；

（Ⅱ）得到數列{a_n}的通項公式a_n=2n-20，可由 a_n≤0和a_n+1≥0

求得n取何值時S_n取得最小值，然后由求和公式可求得答案；

（Ⅲ）根據題意求得b_n=a₂^n-1=-18+(2^n-1-1)×2=2ⁿ-20，利用分組求和法可求得數列{b_n}的前n項和為T_n．