Question

15．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（其中α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線θ=β和θ=β-$\frac{π}{3}$（0＜β＜$\frac{π}{2}$）與圓C分別異于極點(diǎn)O的A，B兩點(diǎn)．
（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）求|OA|+|OB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）先求出圓的普通方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程；
（2）由圓的參數(shù)方程可得|OA|=4cosβ，|OB|=4cos（$β-\frac{π}{3}$），使用三角恒等變換及β的取值范圍得出|OA|+|OB|的最大值．

解答 解：（1）圓的普通方程為（x-2）²+y²=4，即x²+y²-4x=0，
∴圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．
（2）|OA|=4cosβ，|OB|=4cos（$β-\frac{π}{3}$），
∴|OA|+|OB|=4cosβ+4cos（β-$\frac{π}{3}$）=4cosβ+2cosβ+2$\sqrt{3}$sinβ=6cos$β+2\sqrt{3}sinβ$=4$\sqrt{3}$sin（$β+\frac{π}{3}$）．
∵0$＜β＜\frac{π}{2}$，
∴當(dāng)$β+\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$即$β=\frac{π}{6}$時(shí)，|OA|+|OB|取得最大值4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．