Question

如圖，在直角△ABC中，∠C=90°，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使得A₁F⊥CD．
（1）求證：A₁F⊥BE；
（2）設線段A₁B的中點為Q，
求證EQ⊥平面A₁BC．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知易得對折后DE⊥平面A₁DC，即DE⊥A₁F，結(jié)合A₁F⊥CD可證得A₁F⊥平面BCDE，再由線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)論．
（2）分別取A₁C，A₁B的中點P，Q，先證明A₁C⊥平面DEQ，有A₁C⊥EQ，可證EQ⊥A₁B，A₁C∩A₁B=A，從而可得EQ⊥平面A₁BC．

解答： 證明：（1）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
∴DE⊥AC，∴DE⊥A₁D，
又DE⊥CD，A₁D∩CD=D
∴DE⊥平面A₁DC，
∵A₁F?平面A₁DC，
∴DE⊥A₁F，
又∵A₁F⊥CD，CD∩DE=D，CD，DE?平面BCDE；
∴A₁F⊥平面BCDE
又∵BE?平面BCDE
∴A₁F⊥BE．
（2）如圖，分別取A₁C，A₁B的中點P，Q，則PQ∥BC．∵DE∥BC，
∴DE∥PQ．
∴平面DEQ即為平面DEP．知DE⊥平面A₁DC，
∴DE⊥A₁C，
又∵P是等腰三角形DA₁C底邊A₁C的中點，
∴A₁C⊥DP，
∴A₁C⊥平面DEP，從而A₁C⊥平面DEQ，
∴A₁C⊥EQ，
又∵EQ⊥A₁B，A₁C∩A₁B=A
∴EQ⊥平面A₁BC．

點評：本題考查直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查學生的分析推理證明與邏輯思維能力，其中熟練掌握空間線面關(guān)系的判定及性質(zhì)，會將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題是解答本題的關(guān)鍵，考察了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．