Question

9．設雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，左、右兩頂點分別為A₁，A₂，以A₁A₂為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點P（點P在第一象限內(nèi)），若直線FP平行于另一條漸近線，則該雙曲線離心率e的值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設出雙曲線的右焦點，漸近線方程，由圓x²+y²=a²與直線y=$\frac{a}$x，求得交點P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），再由兩直線平行的條件：斜率相等，化簡方程，結合離心率公式即可得到所求值．

解答 解：設雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F（c，0），
漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由圓x²+y²=a²與直線y=$\frac{a}$x，求得交點P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
由直線FP平行于另一條漸近線，可得：
$\frac{\frac{ab}{c}}{\frac{{a}^{2}}{c}-c}$=-$\frac{a}$，化為c²=2a²，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用直線和圓求得交點，以及兩直線平行的條件，考查運算能力，屬于中檔題．