Question

已知函數(shù)f(x)=

2x+1

x+2

(x≠-2，x∈R)，數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=a（a≠-2，a∈R），a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）若數(shù)列{a_n}是常數(shù)列，求a的值；
（2）當(dāng)a₁=2時(shí)，記bn=

an-1

a n+1

(n∈N*)，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式a_n．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列{a_n}是常數(shù)列，知a₂=f（a₁）=a，解方程即得a的值；
（2）由bn=

an-1

a n+1

(n∈N*)，知bn+1=

an+1-1

an+1+1

，由a_n+1=f（a_n）再化簡(jiǎn)整理，得bn+1=

1

3

an-1

an+1

，即bn+1=

1

3

bn(n∈N*)，可證{b_n}是等比數(shù)列，先求出{b_n}的通項(xiàng)，再求通項(xiàng)公式a_n．

解答：解（1）∵f(x)=

2x+1

x+2

，a1=a(a≠-2)，an+1=f(an)(n∈N*)，且數(shù)列{a_n}是常數(shù)列，
∴a₂=a₁=a，即a=

2a+1

a+2

，解得a=-1，或a=1．
∴所求實(shí)數(shù)a的值是1或-1．
（2）∵a1=2，bn=

an-1

an+1

(n∈N*)，
∴b1=

1

3

，bn+1=

an+1-1

an+1+1

=

2an+1 an+2 -1

2an+1 an+2 +1

=

1

3

an-1

an+1

，即bn+1=

1

3

bn(n∈N*)．
∴數(shù)列{b_n}是以b1=

1

3

為首項(xiàng)，公比為q=

1

3

的等比數(shù)列，于是bn=

1

3

(

1

3

)n-1=(

1

3

)n(n∈N*)．
由bn=

an-1

an+1

，即

an-1

an+1

=(

1

3

)n，解得an=

1+( 1 3 )n

1-( 1 3 )n

=

3n+1

3n-1

(n∈N*)．
∴所求的通項(xiàng)公式an=

3n+1

3n-1

(n∈N*)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了常數(shù)列、等比數(shù)列以及數(shù)列通項(xiàng)公式的概念，也考查了方程的思想，轉(zhuǎn)化構(gòu)造的能力和計(jì)算能力．