Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+?-

π

6

）（0＜?＜π，ω＞0），
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為

π

2

，且它的圖象過(guò)（0，1）點(diǎn)，求函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式；
（2）將（1）中的函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若f（x）的圖象在x∈（a，a+

1

100

）（a∈R）上至少出現(xiàn)一個(gè)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，則正整數(shù)ω的最小值為多少？

Answer 1

分析：（1）由

T

2

=

π

2

可求ω，它的圖象過(guò)（0，1）點(diǎn)，0＜?＜π，可求φ，從而可得函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式；
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求得y=g（x）的解析式，從而可得其單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）利用

1

2

T=

π

ω

＜

1

100

，即可求得正整數(shù)ω的最小值．

解答：解：（1）依題意，

T

2

=

π

2

，故T=π，
∴ω=2；
又f（0）=2sin（2×0+?-

π

6

）=1，
∴sin（?-

π

6

）=

1

2

，
∵0＜?＜π，
∴φ=

π

3

；
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
（2）將f（x）=2sin（2x+

π

6

）的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位得f（x-

π

6

）=2sin[2（x-

π

6

）+

π

6

]=2sin（2x-

π

6

），
再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得y=g（x）=2sin（

1

2

x-

π

6

）；
由2kπ-

π

2

≤

1

2

x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：
4kπ-

2π

3

≤x≤4kπ+

4π

3

（k∈Z），
∴g（x）=2sin（

1

2

x-

π

6

）的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ-

2π

3

，4kπ+

4π

3

]（k∈Z）．
（3）∵f（x）=2sin（ωx+?-

π

6

）的圖象在x∈（a，a+

1

100

）（a∈R）上至少出現(xiàn)一個(gè)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，
∴

1

2

T=

π

ω

＜

1

100

，
∴ω＞100π，
∴正整數(shù)ω的最小值為315．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于難題．