已知函數(shù)f（x）=mx-
m
x
，g（x）=2lnx
（1）當(dāng)m=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)m=1時，證明方程f（x）=g（x）有且僅有一個實數(shù)根；
（3）若x∈（1，e]時，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
（1）m=2時，f(x)=2x-
2
x
，f′(x)=2+
2
x2
，f′(1)=4，
切點坐標(biāo)為（1，0），
∴切線方程為y=4x-4…（2分）
（2）m=1時，令h(x)=f(x)-g(x)=x-
1
x
-2lnx，
h′(x)=1+
1
x2
-
2
x
=
(x-1)2
x2
≥0，
∴h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．…（4分）
又h(e)•h(
1
e
)=-(
1
e
-e+2)2＜0，
∴y=h（x）在（0，+∞）內(nèi)有且僅有一個零點
∴在（0，+∞）內(nèi)f（x）=g（x）有且僅有一個實數(shù)根…（6分）
（或說明h（1）=0也可以）
（3）mx-
m
x
-2lnx＜2恒成立，即m（x2-1）＜2x+2xlnx恒成立，
又x2-1＞0，則當(dāng)x∈（1，e]時，m＜
2x+2xlnx
x2-1
恒成立，
令G(x)=
2x+2xlnx
x2-1
，只需m小于G（x）的最小值，
G′(x)=
-2(x2lnx+lnx+2)
(x2-1)2
，
∵1＜x≤e，∴l(xiāng)nx＞0，∴當(dāng)x∈（1，e]時G'（x）＜0，
∴G（x）在（1，e]上單調(diào)遞減，
∴G（x）在（1，e]的最小值為G(e)=
4e
e2-1
，
則m的取值范圍是(-∞，
4e
e2-1
)．…（12分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)為4，則
lim
△x→0
f(x0+2△x)-f(x0)
△x
=（　�。�
A．4B．8C．2D．-4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

曲線y=sinx在x=
π
2
處的切線方程是（　　）
A．y=0B．y=x+1C．y=xD．y=1

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=x3-x2-x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在點（2，2）處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極大值和極小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=x2-2x．
（Ⅰ）指出函數(shù)f（x）值域和單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在（0，0）點處的切線方程；
（Ⅲ）求f（x-1）＞0的解集．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

曲線y=x3+2x2-2x-1在點x=1處的切線方程是（　�。�
A．y=5x-1B．y=5x-5C．y=3x-3D．y=x-1

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
x2+2x+5．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）與y=2x+m有三個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

曲線y=x3+1在x=0處的切線的斜率是（　�。�
A．-1B．0C．
1
2
D．1

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=
1
3
x3+
1-a
2
x2-ax-a，x∈R，其中a＞0．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個零點，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=1時，設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最大值為M（t），最小值為m（t）．記g（t）=M（t）-m（t），求函數(shù)g（t）在區(qū)間[-3，-1]上的最小值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案