Question

已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0，y≥0

，若目標(biāo)函數(shù)z=

x

a

+

y

b

（a＞0，b＞0）的最大值為9，則4a+b的最小值為（　�。�

• A、

  16

  9

• B、16
• C、4
• D、

  4

  3

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，利用基本不等式即可得到結(jié)論．

解答： 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=

x

a

+

y

b

（a＞0，b＞0）得y=-

a

b

x+bz，
∵a＞0，b＞0，∴y=-

a

b

x+bz的斜率k=-

a

b

＜0，
平移直線y=-

a

b

x+bz，由圖象可知當(dāng)直線y=-

a

b

x+bz經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線y=-

a

b

x+bz的截距最大，此時(shí)z最大，
由

2x-y+2=0 8x-y-4=0

，解得

x=1 y=4

，即B（1，4），
此時(shí)

1

a

+

4

b

=9，即

1

9a

+

4

9b

=1，
則4a+b=（4a+b）（

1

9a

+

4

9b

）=

4

9

+

4

9

+

b

9a

+

16a

9b

≥

8

9

+2

b 9a • 16a 9b

=

8

9

+

8

9

=

16

9

，
當(dāng)且僅當(dāng)

b

9a

=

16a

9b

，即b=4a時(shí)，取等號(hào)，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃和基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)．