Question

14．證明下列三角恒等式：
（1）（cosα-1）²+sin²α=2-2cosα；
（2）$\frac{1}{co{s}^{2}β}$-tan²β-sin²β=cos²β；
（3）sin³α（1+cotα）+cos³α（1+tanα）=sinα+cosα

Answer 1

分析 由三角函數(shù)公式，逐個由左邊向右邊化簡即可

解答 證明：（1）左邊=（cosα-1）²+sin²α
=cos²α-2cosα+1+sin²α
=cos²α+sin²α+1-2cosα
=2-2cosα=右邊；
（2）左邊=$\frac{1}{co{s}^{2}β}$-tan²β-sin²β
=$\frac{1}{co{s}^{2}β}$-$\frac{si{n}^{2}β}{co{s}^{2}β}$-sin²β
=$\frac{1-si{n}^{2}β}{co{s}^{2}β}$-sin²β
=1-sin²β=cos²β=右邊；
（3）左邊=sin³α（1+cotα）+cos³α（1+tanα）
=sin³α（1+$\frac{cosα}{sinα}$）+cos³α（1+$\frac{sinα}{cosα}$）
=sin³α$\frac{sinα+cosα}{sinα}$+cos³α$\frac{cosα+sinα}{cosα}$
=（sinα+cosα）（sin²α+cos²α）
=sinα+cosα=右邊

點評 本題考查三角函數(shù)恒等式的證明，熟練利用三角函數(shù)公式是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．