已知a∈R，若實數(shù)x，y滿足y=-x2+3lnx，則（a-x）2+（a+2-y）2的最小值是
 
．
分析：由x=a，y=a+2，可得y=x+2，即點在直線上動，求（a-x）2+（a+2-y）2的最小值，就是求y=-x2+3lnx上的點到直線距離的最小值．
解答：解：由題意，由x=a，y=a+2，可得y=x+2，即點在直線上動，
∴求（a-x）2+（a+2-y）2的最小值，就是求y=-x2+3lnx上的點到直線距離的最小值．
設(shè)平行于y=x+2，與y=-x2+3lnx相切的切點坐標為（a，b）（a＞0），則
∵y=-x2+3lnx，
∴y′=-2x+
3
x
，
∴由-2a+
3
a
=1，可得a=-
3
2
（舍去）或a=1，
∴切點為（1，-1），
∴切點到y(tǒng)=x+2的距離為
|1+1+2|
2
=2
2
．
∴（a-x）2+（a+2-y）2的最小值是2
2
．
故答案為：2
2
．
點評：本題考查導數(shù)的幾何意義，點到直線的距離公式等式知識的靈活應(yīng)用，屬于難題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a∈R，函數(shù)f(x)=
ax
+lnx-1，g（x）=（lnx-1）ex+x（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值；
（2）是否存在實數(shù)x0∈（0，e]，使曲線y=g（x）在點x=x0處的切線與y軸垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a∈R，函數(shù)f(x)=
a
x
+lnx-1，g(x)=(lnx-1)
e
x
 
+x（其中e為自然對數(shù)的底）．
（1）當a＞0時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值；
（2）是否存在實數(shù)x0∈（0，e]，使曲線y=g（x）在點x=x0處的切線與y軸垂直？若存在求出x0的值，若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a∈R，函數(shù)f(x)=
ax
+lnx-1，g(x)=(lnx-1)ex+x
（1）判斷函數(shù)f（x）在（0，e]上的單調(diào)性；
（2）是否存在實數(shù)x0∈（0，+∞），使曲線y=g（x）在點x=x0處的切線與y軸垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a∈R，函數(shù)f(x)=
a
x
+lnx-1，g（x）=（lnx-1）ex+x．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值；
（2）是否存在實數(shù)x0∈（0，e]，使曲線y=g（x）在點x=x0處的切線與y軸垂直？若存在，求出x0的值，若不存在，請說明理由；
（3）求證：(1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
)•
n
k=1
ln[k(k+1)(k+2)]＞(n-
1
4
)•ln
en
n!
      (n∈N*)．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案