Question

已知正項數(shù)列{b_n}的前n項和S_n滿足：6S_n=b_n²+3b_n+2（n∈N^*），且b₁＜2．
（Ⅰ）求{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a1=2，an=(1+

1

bn

)an-1(n≥2，且n∈N^*），試比較a_n與

3	bn+1

的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：本題（Ⅰ）利用數(shù)列通項與前n項和的關(guān)系，得到數(shù)列是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項公式，{b_n}的通項公式；（Ⅱ）

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{b_n}的前n項和S_n滿足：6S_n=b_n²+3b_n+2（n∈N^*），①
∴當(dāng)n=1時，
6b₁=b₁²+3b₁+2，b₁=1或b₁=2，
∵b₁＜2，
∴b₁=1．
當(dāng)n≥2，n∈N^*時，
6S_n-1=b_n-1²+3b_n-1+2，②
由①-②得：6b_n=（b_n²+3b_n+2）-（b_n-1²+3b_n-1+2），
∴b n2-b n-12=3（b_n+b_n-1），
∵正項數(shù)列{b_n}，
∴b_n-b_n-1=3，
∴數(shù)列{b_n}是首項為1，公差3的等差數(shù)列．
∴b_n=1+3（n-1）=3n-2，
∴{b_n}的通項公式為：b_n=3n-2．
（Ⅱ）結(jié)論為：a_n＞

3	bn+1

．以下證明．
證明：由（Ⅰ）知：b_n=3n-2．
∵a_n=（1+

1

bn

）a_n-1，（n≥2且n∈N^*），
∴a_n=（1+

1

3n-2

）a_n-1，
∴an=

3n-1

3n-2

an-1，
∴a2=

5

4

a1，
a3=

8

7

a2，
…
an=

3n-1

3n-2

an-1，
又∵a₁=2，
∴上述n個式子疊乘，得：
an=

2×5×8×11×…×(3n-1)

4×7×10×…×(3n-2)

．
要比較a_n與

3	bn+1

的大小，
只要比較an3與b_n+1的大小，
∵a_n＞0，b_n＞0，
∴只要比較

an3

bn+1

與1 的大�。�
記f（n）=

[2×5×8×…×(3n-1)]3

[4×7×…×(3n-2)]3(3n+1)

，
∵f（1）=

(2×5)3

43×4

=

125

32

＞1，

f(n+1)

f(n)

=

(3n+2)3(3n+1)

(3n+1)3(3n+4)

=

n3+54n2+36n+4

n3+54n2+27n+4

＞1，
∴f（n）＞1，
則有：a_n＞

3	bn+1

．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列通項與前n項和的關(guān)系、不等式證明，本題有一定的計算量，難度適中，屬于中檔題．