Question

已知橢圓

x2

2

+y2=1，直線x+y-4=0，及橢圓左準(zhǔn)線l，橢圓上點P到x+y-4=0的距離為m，到l的距離為n，則m+

2

2

n的最小值為（　�。�

• A、

  5 2

  2

• B、

  5

  2

• C、5
• D、5

  2

Answer 1

分析：設(shè)出P的坐標(biāo)為（

2

cosα，sinα），根據(jù)橢圓方程找出橢圓的左準(zhǔn)線方程，然后利用點到直線的距離公式表示出P到x+y-4=0的距離m，表示出P到準(zhǔn)線l的距離n，把表示出的m與n代入m+

2

2

n中，然后利用三角函數(shù)的方法求出最小值即可．

解答：解：設(shè)P（

2

cosα，sinα），由橢圓的方程得到左準(zhǔn)線l的方程為x=-2，
由題意得：m=

| 2 cosα+sinα-4|

2

，n=|

2

cosα+2|，
則m+

2

2

n=

| 2 cosα+sinα-4|

2

+

| 2 cosα+2|

2

≥

|2 2 cosα+sinα-2|

2

=

|3sin(β+α)-2|

2

（其中sinβ=

2 2

3

，cosβ=

1

3

）
當(dāng)sin（β+α）=-1時，m+

2

2

n≥

5

2

=

5 2

2

，
所以m+

2

2

n的最小值為

5 2

2

．
故選A

點評：此題考查學(xué)生掌握橢圓的簡單性質(zhì)，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，是一道綜合題．