Question

選修4-5：不等式選講
設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|-|x+1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤0的解集D；
（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)x∈D使成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)x≤-1時(shí)，由f（x）=-x+2≤0，得x≥2，所以x∈∅；
當(dāng)時(shí)，由f（x）=-3x≤0得x≥0，所以；
當(dāng)時(shí)，由f（x）=x-2≤0得x≤2，所以．…（2分）
綜上得：不等式f（x）≤0的解集D={x|0≤x≤2}．…（3分）
（Ⅱ）=，…（4分）
由柯西不等式得≤（3+1）（x+（2-x））=8，
∴，…（5分）
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，
∴a的取值范圍是．…（7分）
分析：（Ⅰ）利用絕對(duì)值的幾何意義，分類討論，化簡(jiǎn)函數(shù)，即可求解不等式；
（Ⅱ）利用柯西不等式，確定的最小值，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的含義、柯西不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力以及推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想以及分類與整合思想．