Question

（08年濰坊市質檢理）  （12分）  已知各項均為正數的等比數列{a_n}，公比q>1，且滿足a₂a₄=64，a₃+2是a₂，a₄的等差中項.

   （1）求數列{a_n}的通項公式；

   （2）設，試比較A_n與B_n的大小，并證明你的結論.

Answer 1

解析：（1）………………2分

    的等差中項，

   

    解得q=2或（舍去），………………………………………………4分

    ………………5分

   （2）由（1）得，

    當n=1時，A₁=2，B₁=（1+1）²=4，A₁<B₁；

    當n=2時，A₂=6，B₂=（2+1）²=9，A₂<B₂；

    當n=3時，A₃=14，B₃=（3+1）²=16，A₃<B₃；

    當n=4時，A₄=30，B₄=（4+1）²=25，A₄>B₄；

    由上可猜想，當1≤n≤3時，A_n<B_n；當n≥4時，A_n>B_n.……………………8分

    下面用數學歸納法給出證明：

    ①當n=4時，已驗證不等式成立.

    ②假設n=k（k≥4）時，A_k>B_k.成立，即,

   

    即當n=k+1時不等式也成立，

    由①②知，當

    綜上，當時，A_n<B_n；當