Question

（2011•延慶縣一模）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)B與拋物線x²=4y的焦點(diǎn)重合，離心率e=

2

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且橢圓C的右焦點(diǎn)F恰為△BMN的垂心（三條高所在直線的交點(diǎn)），若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓的一個(gè)頂點(diǎn)B與拋物線x²=4y的焦點(diǎn)重合，所以b=1，又因?yàn)殡x心率為e=

2

2

，所以

c

a

=

2

2

，再根據(jù)
橢圓中a²=b²+c²，就可求出a，b，的值，得到橢圓方程．
（Ⅱ）先假設(shè)存在直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且橢圓C的右焦點(diǎn)F恰為△BMN的垂心．設(shè)出M，N坐標(biāo)，由（1）中所求橢圓方程，可得F，B點(diǎn)坐標(biāo)，利用若F為△BMN的垂心，則MF⊥BN，就可得到含x₁，x₂，y₁，y₂的等式，再設(shè)MN方程為y=x+t，
代入橢圓方程，求x₁+_x2，x₁x₂，y₁+y₂，y₁y₂，均用含t的式子表示，再代入上面所求等式中，求t，若能求出，則存在直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且橢圓C的右焦點(diǎn)F恰為△BMN的垂心，若求不出，則不存在直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且橢圓C的右焦點(diǎn)F恰為△BMN的垂心．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1

，&(a＞b＞0)

，
∵拋物線x²=4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）∴b=1
由已知得

c

a

=

2

2

，∴

a2-c2=1 a2=2c2

，
解得a=

2

，

&c=1

∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F(xiàn)（1，0），B（0，1），，∴k_BF=-1
∵F是垂心，∴K_MN=1
∴設(shè)MN的方程為y=x+t，
代入橢圓方程后整理得：3x²+4tx+2t²-2=0
∴x1+x2=-

4t

3

，

&x1x2= 2t2-2 3

將x=y-t代入橢圓方程后整理得：3y²-2ty+t²-2=0
∴y1+y2=

2t

3

，

&y1y2= t2-2 3

∵F是垂心，∴MF⊥BN，MF=(1-x1，-y1)

，&BN=(x2，y2-1)

∴（1-x₁）x₂-y₁（y₂-1）=0，
整理得：x₁+x₂-x₁x₂-y₁y₂+t=0
∴-

4t

3

-

2t2-2

3

-

t2-2

3

+t=0∴3t²+t-4=0
∴t=-

4

3

或t=1（舍）
∴存在直線 l，其方程為y=x-

4

3

使題設(shè)成立．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓方程的求法，以及存在性問題的做法，為圓錐曲線的常規(guī)題，應(yīng)當(dāng)掌握．