【題目】已知數(shù)列{an}中,a1=2,an+1﹣an﹣2n﹣2=0(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè) ,若對任意的正整數(shù)n,當m∈[﹣1,1]時,不等式 恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

【答案】
(1)解:由題意得an+1﹣an﹣2n﹣2=0,則an+1﹣an=2n+2,

∴an﹣an1=2n(n≥2),

∴a2﹣a1=2×2,a3﹣a2=2×3,…,an﹣an1=2n,

通過疊加得an=2(2+3+…+n)+a1

=2× +2=n(n+1)(n≥2).

又∵a1=2符合此通項公式,

∴an=n(n+1)


(2)解:由(1)得,

= +…+

=( )+( )+( )+…+(

= = = ,

設(shè)y=2x+ +3,則函數(shù)在( ,+∞)上遞增,

∴當n=1時, 取到最小值為6,

∴bn的最大值為

故要使不等式 對一切m∈[﹣1,1]成立,

須使 ,即t2﹣2mt>0對一切m∈[﹣1,1]恒成立.

設(shè)g(m)=t2﹣2mt,

當t=0時,g(m)>0不成立,

當t≠0時,g(m)是一次函數(shù),

,即 ,解得t>2或t<﹣2,

綜上得,t的取值范圍是(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)


【解析】(1)由題意得an﹣an1=2n(n≥2),再給n具體值列出方程,利用疊加法和等差數(shù)列的前n項和公式,求出an;(2)由(1)表示出bn , 再通過裂項相消法化簡bn , 構(gòu)造函數(shù)y=2x+ +3判斷出單調(diào)性,再求出 的最小值,即求出bn的最大值,由恒成立列出不等式:t2﹣2mt>0,再一次構(gòu)造函數(shù)g(m)=t2﹣2mt,并進行分類列出恒成立的條件,求出t的范圍.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用數(shù)列的前n項和的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系

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【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+α)(A>0,ω>0,﹣ <α< )的最小正周期是π,且當x= 時,f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式,并作出f(x)在[0,π]上的圖象(要列表);
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移m(m>0)個單位長度后得到函數(shù)y=g(x)的圖象,且y=g(x)是偶函數(shù),求m的最小值.

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【題目】若關(guān)于x的不等式(a2﹣a)4x﹣2x﹣1<0在區(qū)間(﹣∞,1]上恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為(
A.(﹣2,
B.(﹣∞,
C.(﹣ ,
D.(﹣∞,6]

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【題目】設(shè)函數(shù).

(1)當時,試求的單調(diào)增區(qū)間;

(2)試求上的最大值;

(3)當時,求證:對于恒成立.

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【題目】從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭,獲得第i個家庭的月收入xi(單位:千元)與月儲蓄yi(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,算得 =80, =20, iyi=184, =720.(b=
(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程;
(2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負相關(guān);
(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,預(yù)測該家庭的月儲蓄.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】給出下列四個命題:
①三點確定一個平面;
②三條兩兩相交的直線確定一個平面;
③在空間上,與不共面四點A,B,C,D距離相等的平面恰有7個;
④兩個相交平面把空間分成四個區(qū)域.
其中真命題的序號是 (寫出所有真命題的序號).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,直三棱柱中,,分別是的中點,求證:

(1)平面

(2);

(3)平面平面.

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【題目】如圖,幾何體由一個正三棱柱截去一個三棱錐而得, , , 平面 的中點, 為棱上一點,且平面.

(1)若在棱上,且,證明: 平面;

(2)過作平面的垂線,垂足為,確定的位置(說明作法及理由),并求線段的長.

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【題目】為增強市民的環(huán)保意識,某市面向全市增招環(huán)保知識義務(wù)宣傳志愿者,從符合條件的志愿者中隨機選取名志愿者,其年齡頻率分布直方圖如圖所示,其中年齡(歲)分成五組:第,第,第,第,第,得到的頻率分布直方圖(局部)如圖所示.

(1)求第組的頻率,并在圖中補畫直方圖;

(2)從名志愿者中再選出年齡低于歲的志愿者名擔任主要宣講人,求這名主要宣講人的年齡在不同一組的概率.

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