Question

（13分） 定義在上的函數(shù),如果滿足:對任意,存在常數(shù),

都有成立,則稱是上的有界函數(shù),其中稱為函數(shù)的上界．

已知函數(shù);

（I）當(dāng)時,求函數(shù)在上的值域,并判斷函數(shù)在上是否為

有界函數(shù),請說明理由;

（Ⅱ）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;

（Ⅲ）已知,函數(shù)在上的上界是,求的取值范圍．

 

Answer 1

（I） 不是有界函數(shù)；（Ⅱ） ；（Ⅲ） ．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）將a=1代入f（x）可得，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出f（x）在上是單調(diào)遞減函數(shù)，即可求得，從而得到f（x）的值域，根據(jù)有界函數(shù)函數(shù)的定義，即可判斷出f（x）不是有界函數(shù)；

（Ⅱ）根據(jù)有界函數(shù)的定義，可得在上恒成立，利用參變量分離轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，則，，問題轉(zhuǎn)化為求h（t）的最大值和p（t）最小值，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，分別判斷出函數(shù)h（t）和p（t）的單調(diào)性，即可求得最值，從容求得a的取值范圍．

試題解析：（I）當(dāng)時, ,

因為在上遞減,所以,即在的值域為

故不存在常數(shù),使成立 ，所以函數(shù)在上不是有界函數(shù)

（Ⅱ）由題意知,在上恒成立．

,

∴ 在上恒成立

∴

設(shè),,,由得 t≥1,

（設(shè),

所以在上遞減,在上遞增, （單調(diào)性不證,不扣分））

在上的最大值為, 在上的最小值為

所以實數(shù)的取值范圍為

（Ⅲ）, ∵ m>0 , ∴ 在上遞減,

∴ 即

∵ , ∴ 在上遞增,

∴ 即個

①當(dāng)時,, 此時

②當(dāng),即,, 此時 ,

③當(dāng)時,,此時

綜上所述:當(dāng)時,的取值范圍是;

當(dāng)時,的取值范圍是 ．

考點：函數(shù)恒成立問題；函數(shù)最值的應(yīng)用．