Question

19．已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+2-m=0
（1）求證：對(duì)m∈R，直線l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B；
（2）求弦AB最短時(shí)，直線l的方程，并求出最短弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線l：mx-y+2-m=0，恒過(guò)D（1，2）點(diǎn)，點(diǎn)在圓C內(nèi)部，可得結(jié)論；
（2）當(dāng)直線l與CD垂直時(shí)，弦AB最短，代入圓的弦長(zhǎng)公式，可得答案．

解答 證明：（1）直線l：mx-y+2-m=0可化為：直線l：m（x-1）-y+2=0恒過(guò)D（1，2）點(diǎn)，
將D（1，2）代入可得：x²+（y-1）²＜5，
即D（1，2）在圓C：x²+（y-1）²=5內(nèi)部，
故對(duì)m∈R，直線l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B；
（2）由（1）可得k_CD=$\frac{2-1}{1-0}$=1，
弦AB最短時(shí)，直線l的斜率k=-1，即m=-1，
故此時(shí)直線l的方程為-x-y+3=0，即x+y-2=0，
此時(shí)圓心C到直線的距離d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
故|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-9qpdbv8^{2}}$=3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A的弦長(zhǎng)公式|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-au49z1j^{2}}$，是解答的關(guān)鍵．