Question

已知M（2，2

2

）為拋物線C：y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)A、B拋物線C上異于原點(diǎn)O的兩點(diǎn)且∠AOB=90°，求證：直線AB恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）M（2，2

2

）代入拋物線方程，即可求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）分類(lèi)討論，與拋物線方程聯(lián)立，利用OA⊥OB，得x₁x₂+y₁y₂=0，可得直線AB的方程，即可得出結(jié)論．

解答： （1）解：∵M(jìn)（2，2

2

）為拋物線C：y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)，
∴8=4p，
∴p=2，
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=4x    （5分）
（2）證明：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立y²=4x得kx²+（2km-4）x+m²=0，
依題意有k≠0，x₁+x₂=-

2km-4

k2

且x₁x₂=

m2

k2

①，（6分）
∵∠AOB=90°，
∴OA⊥OB，得x₁x₂+y₁y₂=0，
即（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0（8分）
①代入化簡(jiǎn)得m²+4km=0，故m=-4k，此時(shí)直線l：y=kx-4k=（x-4）k，恒過(guò)點(diǎn)N（4，0）（10分）
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)l：x=t，可解得t=4，故直線恒過(guò)定點(diǎn)N（4，0）（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，證明直線AB必過(guò)定點(diǎn)時(shí)，要熟練掌握其中設(shè)而不求的解題思想．