Question

已知函數(shù)f（x）=-x³-ax²+b²x+1（a、b∈R）．
（1）若a=1，b=1，求f（x）的極值和單調(diào)區(qū)間；
（2）已知x₁，x₂為f（x）的極值點(diǎn)，且|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁-x₂|，若當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點(diǎn)的切線(xiàn)斜率恒小于m，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f（x）=-x³-x²+x+1，f′（x）=-3x²-2x+1=-（3x-1）（x+1）．

f（x）的極大值為，極小值為0．
f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-1），（）．
（2）∵f（x）=-x³-ax²+b²x+1，
∴f′（x）=-3x²-2ax+b²，又x₁，x₂為f（x）的極值點(diǎn)，
∴x₁，x₂為方程-3x²-2ax+b²=0的兩根，
x₁+x₂=-，x₁x₂=-，
∵|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁-x₂|，
∴|-x₁³-ax₁²+b²x₁+1+x₂³+ax₂³-b²x₂-1|=|x₁-x₂|，
整理得|x₁²+x₁x₂+x₂²+a（x₁+x₂）-b²|=，
即|9+--b²|=，
∴a²+3b²=1，∴a²≤1．
∵k=f′（x）=-3x²-2ax+b²=-3x²-2ax+，
f′（x）_max=f′=，
∴m＞．
分析：（1）把a(bǔ)=1，b=1代入函數(shù)f（x）=-x³-ax²+b²x+1，求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，可得f（x）的單調(diào)性、極值；
（2）根據(jù)x₁，x₂為f（x）的極值點(diǎn)，得到x₁，x₂為方程-3x²-2ax+b²=0的兩根，利用韋達(dá)定理得到x₁+x₂=-，x₁x₂=-，并把|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁-x₂|代入化簡(jiǎn)得到|9+--b²|=，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到k=f′（x）=-3x²-2ax+b²=-3x²-2ax+，要求函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點(diǎn)的切線(xiàn)斜率恒小于m，實(shí)際上是求k=f′（x）的最大值．
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值問(wèn)題以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義．考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．