Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=a，a₂=2，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且2S_n=n（3a₁+a_n），n∈N^*．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若bn=

2  (n=1)  8 an+1•an+2 (n≥2)

T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)遞推式，令n=1，結(jié)合S₁=a₁=a，可求a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知Sn=

nan

2

，再寫一式，兩式相減，可得（n-1）a_n+1=na_n，再利用疊乘法，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）利用裂項(xiàng)法，即可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?S_n=n（3a₁+a_n），所以2S₁=3a₁+a₁，因?yàn)镾₁=a₁=a，所以a=0．…..（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知Sn=

nan

2

，所以Sn+1=

(n+1)an+1

2

．
所以an+1=Sn+1-Sn=

(n+1)an+1

2

-

nan

2

．
所以（n-1）a_n+1=na_n．
所以當(dāng)n≥2時，

an+1

an

=

n

n-1

．
所以

an+1

an

=

n

n-1

，

an

an-1

=

n-1

n-2

，…，

a3

a2

=

2

1

，
所以

an+1

a2

=n．
所以a_n=2（n-1），n≥2．
因?yàn)閍₁=a=0滿足上式，所以a_n=2（n-1），n∈N^*．…..（8分）
（Ⅲ）當(dāng)n≥2時，bn=

8

2n•2(n+1)

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．…..（10分）
又b₁=2，所以T_n=b₁+b₂+…+b_n=2+2(

1

2

-

1

3

)+…+2(

1

n

-

1

n+1

)=2+2(

1

2

-

1

n+1

)=

3n+1

n+1

所以Tn=

3n+1

n+1

．…..（14分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，正確運(yùn)用疊乘法、裂項(xiàng)法是解題的關(guān)鍵．