Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=AA₁=2，E是BC的中點．
（1）求四棱錐C-A₁B₁BA的體積；
（2）求異面直線AE與A₁C所成的角．

Answer 1

解：（1）∵AA₁⊥平面ABC，AC⊆平面ABC，∴AC⊥AA₁
結(jié)合AB⊥AC，AB∩AA₁=A，可得AC⊥平面A₁B₁BA
∴四棱錐C-A₁B₁BA的體積為
V==×2×2×2=
（2）取B₁C₁的中點E₁，連A₁E₁，E₁C，
∵AE∥A₁E₁，∴∠E₁A₁C或其補角是異面直線AE與A₁C所成的角
∵AC=AB=AA₁=2，
∴Rt△A₁B₁C₁中，，正方形AA₁C₁C中，，
∴Rt△CC₁E₁中，，
因此，在△M₁E₁C中，．
∴異面直線AE與A₁C所成的角為．
分析：（1）根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)，可證出AC⊥平面A₁B₁BA，所以AC是四棱錐C-A₁B₁BA的高，再結(jié)合錐體體積公式和題中所給數(shù)據(jù)，可求出四棱錐C-A₁B₁BA的體積．
（2）取B₁C₁的中點E₁，連A₁E₁，E₁C，根據(jù)棱柱的性質(zhì)可得AE∥A₁E₁，得異面直線A₁E₁與A₁C所成的角是AE和A₁C所成的銳角或直角，再根據(jù)直棱柱的性質(zhì)算出△M₁E₁C的各邊長，最后在△M₁E₁C中利用余弦定理，可算出∠E₁A₁C的余弦，即得異面直線AE與A₁C所成的角．
點評：本題給出直三棱柱，叫我們求異面直線所成角并且求四棱錐的體積，著重考查了直棱柱的性質(zhì)、異面直線所成角和體積的求法等知識，屬于基礎題．