Question

有下列命題：
①在函數(shù)y=cos(x-

π

4

)cos(x+

π

4

)的圖象中，相鄰兩個對稱中心的距離為π；
②函數(shù)y=

x+3

x-1

的圖象關(guān)于點（-1，1）對稱；
③“a≠5且b≠-5”是“a+b≠0”的必要不充分條件；
④已知命題p：對任意的x∈R，都有sinx≤1，則^?p是：存在x∈R，使得sinx＞1；
⑤在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，則角C等于30°或150°．
其中所有真命題的個數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：①，利用兩角和與差的余弦公式及二倍角公式可將y=cos(x-

π

4

)cos(x+

π

4

)化為y=

1

2

cos2x，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷①；
②，由函數(shù)y=

x+3

x-1

=1+

4

x-1

的圖象關(guān)于點（1，1）對稱，可判斷②；
③，利用“a+b=0”是“a=5或b=5”既不充分又不必要條件，可判斷“a≠5且b≠-5”是“a+b≠0”的既不充分又不必要條件，可判斷③；
④，利用全稱命題與特稱命題之間的關(guān)系可判斷④；
⑤，在△ABC中，由3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1可得到角C等于30°或150°，分類討論后可判斷⑤．

解答： 解：對于①，在函數(shù)y=cos(x-

π

4

)cos(x+

π

4

)=（

2

2

cosx+

2

2

sinx）（

2

2

cosx-

2

2

sinx）=

1

2

cos2x的圖象中，其周期T=π，
相鄰兩個對稱中心的距離為

1

2

T=

π

2

，故①錯誤；
對于②，函數(shù)y=

x+3

x-1

=1+

4

x-1

的圖象關(guān)于點（1，1）對稱，故②錯誤；
對于③，因為“a+b=0”是“a=5或b=5”既不充分又不必要條件，
所以，其逆否命題“a≠5且b≠-5”是“a+b≠0”的既不充分也不必要條件，故③錯誤；
對于④，已知命題p：對任意的x∈R，都有sinx≤1，則^?p是：存在x∈R，使得sinx＞1，故④正確；
對于⑤，在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，
則（3sinA+4cosB）²+（4sinB+3cosA）²=6²+1²=37，整理可得sin（A+B）=

1

2

，
所以C=30°或150°．
當(dāng)C=150°時，A+B=30°，3sinA+4cosB＜

1

2

×3+4＜6，與已知矛盾，故C≠150°，故⑤錯誤．
綜上所述，正確命題為④．
故選：A．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查兩角和與差的余弦公式及余弦函數(shù)的性質(zhì)，考查充分必要條件、全稱命題與特稱命題的應(yīng)用與解三角形，考查轉(zhuǎn)化思想．