Question

2．在四面體ABCD中，AB=CD=2，AC=BD=AD=BC=$\sqrt{2}$，則該四面體的外接球的表面積為4π．

Answer 1

分析 將四面體補(bǔ)成長方體，通過求解長方體的對(duì)角線就是球的直徑，然后求解外接球的表面積．

解答 解：由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體ABCD的四個(gè)面為全等的三角形，
所以可在其每個(gè)面補(bǔ)上一個(gè)以2，$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$為三邊的三角形作為底面，
且以分別x，y，z長、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，
從而可得到一個(gè)長、寬、高分別為x，y，z的長方體，
并且x²+y²=4，x²+z²=2，y²+z²=2，
則有（2R）²=x²+y²+z²=4（R為球的半徑），
所以球的表面積為S=4πR²=4π．
故答案為：4π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的外接球的表面積的求法，割補(bǔ)法的應(yīng)用，判斷外接球的直徑是長方體的對(duì)角線的長是解題的關(guān)鍵之一．