Question

16．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0）、F₂（c，0），P是橢圓C上一點(diǎn)，且|PF₂|=|F₁F₂|，直線PF₁與圓x²+y²=$\frac{{c}^{2}}{4}$相切，則橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 由題意作橢圓的圖象，從而結(jié)合圖象可知|OS|=$\frac{c}{2}$，|F₂T|=c，|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{3}$c+2c=2a，從而求離心率．

解答 解：由題意作橢圓的圖象如下，
∵直線PF₁與圓x²+y²=$\frac{{c}^{2}}{4}$相切，
∴|OS|=$\frac{c}{2}$，
∴|F₂T|=c，
∴|F₁T|=$\sqrt{3}$c，
∴|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{3}$c+2c=2a，
即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{2+2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的方程與數(shù)形結(jié)合的思想方法的應(yīng)用及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．