Question

5．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左焦點為F，右頂點為A，過F且與x軸垂直的直線交雙曲線于B，C兩點，若△ABC為直角三角形，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 3
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 利用雙曲線的對稱性及直角三角形，可得|AF|=|BF|，求出|AF|，|BF|得到關于a，b，c的等式，即可求出離心率的值．

解答 解：∵△ABC是直角三角形，∴∠BAC為直角
∵雙曲線關于x軸對稱，且直線BC垂直x軸
∴|AF|=|BF|
∵F為左焦點，設其坐標為（-c，0）
∴|BF|=$\frac{^{2}}{a}$
∴|AF|=a+c
∴$\frac{^{2}}{a}$=a+c
∴c²-ac-2a²=0
∴e²-e-2=0
∵e＞1，
∴e=2
故選D．

點評 本題考查雙曲線的對稱性、考查雙曲線的三參數(shù)關系：c²=a²+b²、考查雙曲線的離心率，屬于中檔題．