Question

函數(shù)f（x）=

x+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義進行證明．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,奇函數(shù)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用奇函數(shù)的定義，求出b，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進行判斷、證明．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

x+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），即

-x+b

1+x2

=-

x+b

1+x2

，
∴b=0，
∴f（x）=

x

1+x2

；
（2）f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增．
設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，則f（x₁）-f（x₂）=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

．
因為0＜x₁＜x₂＜1，所以x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，定義法是解決該類問題的基本方法．