Question

已知點F（1，0），直線l：x=2，設動點P到直線l的距離為d，已知|PF|=

2

2

d，且

2

3

≤d≤

3

2

．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）若

PF

•

OF

=

1

3

，求向量

OP

與

OF

的夾角；
（3）如圖所示，若點G滿足

GF

=2

FC

，點M滿足

MP

=3

.

PF

，且線段MG的垂直平分線經(jīng)過點P，求△PGF的面積．

Answer 1

分析：（1）利用兩點的距離公式及點到直線的距離公式將已知幾何條件用坐標表示，化簡求出軌跡方程，注意求出定義域．
（2）求出三個向量的坐標，先利用向量的坐標形式數(shù)量積公式求出數(shù)量積，列出方程求出x，代入軌跡方程，求出點的坐標，利用向量的數(shù)量積公式求出兩個向量的夾角．
（3）利用已知條件的向量關系求出G為左焦點，利用中垂線的性質及橢圓的定義列出方程組，求出三角形PGF的三邊長，利用勾股定理判斷出三角形的性質，利用三角形的面積公式去求出三角形的面積．

解答：解：（1）設動點P的坐標為（x，y），則|PF|=

(x-1)2+y2

，d=|2-x|，
∴

(x-1)2+y2

|2-x|

=

2

2

化簡得

x2

2

+y2=1
又

2

3

≤d=2-x≤

3

2

∴

1

2

≤x≤

4

3

即動點p的軌跡方程為

x2

2

+y2=1(

1

2

≤x≤

4

3

)
（2）∵

PF

=(1-x，-y)，

OF

=(1，0)，

OP

=(x，y)
∴

PF

•

OF

=1-x=

1

3

∴x=

2

3

，代入

x2

2

+y2=1(

1

2

≤x≤

4

3

)得y=±

7

3

∴

OP

=(

2

3

，

7

3

)或(

2

3

，-

7

3

)∴cos＜

OP

，

OF

＞=

OP • OF

| OP || OF |

=

2 11

11

∴

OP

與

OF

的夾角為arccos

2 11

11

（3）由已知，得|

GF

|=2|

FG

|=2
∴G為左焦點
又∵

PG |= PM |=3 PF PG |+ PF |=2 2

∴

PF |= 2 2 PG |= 3 2 2

又∵|

GF

|=2
∴|

PF

|2+|

GF

|2=|

PG

|2，
∴△PGF為直角三角形．
∴S△PFG=

1

2

|

PF

||

GF

|=

2

2

點評：本題考查求向量的夾角需要考慮利用向量的數(shù)量積、考查求軌跡方程時，在化簡方程時要注意同解變形，求出方程的定義域、考查解決焦點三角形問題�？紤]利用圓錐曲線的定義．