如圖，AB和CD是兩條異面直線,BD是它們的公垂線,AB=CD=a,點(diǎn)M,N分別是BD,AC的中點(diǎn).

(1)求證:MN⊥BD;

(2)若AB與CD所成的角為60°，求MN的長(zhǎng).

分析：第一步欲證MN與BD垂直,只需證明·=0，即可，第二步欲求MN的長(zhǎng)，只需用已知中已有長(zhǎng)度的向量來表示出向量即可.

(1)證明:由點(diǎn)M、N分別是BD、AC的中點(diǎn)可知?

=（+Equation.3）=（++Equation.3+），?

∵Equation.3+Equation.3=0，?

∴·=(+)·=（·+·）.?

∵⊥，⊥，?

∵·=0，·=0.?

∴·=0，∴MN⊥BD.

(2)證明: =(+Equation.3)=(+),?

∴||2=2=(+Equation.3)2=(+)2?

=(2+2·Equation.3+2)?

=a2+×2a2cos60°+a2?

=a2.?

∴||=a.


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（幾何證明選講選做題）
如圖，AB和AC是圓的兩條弦，過點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長(zhǎng)線相交于D．過點(diǎn)C作BD的平行線與圓交于點(diǎn)E，與AB相交于點(diǎn)F，AF=3，F(xiàn)B=1，EF=
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，則線段CD的長(zhǎng)為
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•安徽）如圖，圓錐頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，其母線與底面所成的角為22.5°，AB和CD是底面圓O上的兩條平行的弦，軸OP與平面PCD所成的角為60°，
（1）證明：平面PAB與平面PCD的交線平行于底面；
（2）求cos∠COD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

（幾何證明選講選做題）
如圖，AB和AC是圓的兩條弦，過點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長(zhǎng)線相交于D．過點(diǎn)C作BD的平行線與圓交于點(diǎn)E，與AB相交于點(diǎn)F，AF=3，F(xiàn)B=1，EF=數(shù)學(xué)公式，則線段CD的長(zhǎng)為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年廣東省廣州市增城一中高三（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

（幾何證明選講選做題）
如圖，AB和AC是圓的兩條弦，過點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長(zhǎng)線相交于D．過點(diǎn)C作BD的平行線與圓交于點(diǎn)E，與AB相交于點(diǎn)F，AF=3，F(xiàn)B=1，EF=，則線段CD的長(zhǎng)為______．

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