Question

某高校在2011年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學(xué)生的筆試成績，按成績分組：第1組[75，80），第2組[80，85），第3組[85，90），第4組[90，95），第5組[95，100]得到的頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅰ）分別求第3，4，5組的頻率；
（Ⅱ）若該校決定在筆試成績高的第3，4，5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進入第二輪面試，
（A）已知學(xué)生甲和學(xué)生乙的成績均在第三組，求學(xué)生甲和學(xué)生乙同時進入第二輪面試的概率；
（B）學(xué)校決定在這6名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生接受考官D的面試，第4組中有ξ名學(xué)生被考官D面試，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)頻率分步直方圖的性質(zhì)，根據(jù)所給的頻率分步直方圖中小矩形的長和寬，求出矩形的面積，即這組數(shù)據(jù)的頻率．
（II）（A）本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件數(shù)是C₃₀³，滿足條件的事件數(shù)是C₂₈¹，根據(jù)等可能事件的概率公式，得到結(jié)果．
（B）由題意知變量ξ的可能取值是0，1，2，該變量符合超幾何分布，根據(jù)超幾何分布的概率公式寫出變量的概率，寫出這組數(shù)據(jù)的分布列和期望值．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)所給的頻率分步直方圖中小正方形的長和寬，
得到第三組的頻率為0.06×5=0.3；
第四組的頻率為0.04×5=0.2；
第五組的頻率為0.02×5=0.1．
（Ⅱ）（A）由題意知本題是一個等可能事件的概率，
試驗發(fā)生包含的事件數(shù)是C₃₀³，
設(shè)M：學(xué)生甲和學(xué)生乙同時進入第二輪面試
滿足條件的事件數(shù)是C₂₈¹，
∴P（M）=

C   1 28

C 3 30

=

1

145

（B）由題意知變量ξ的可能取值是0，1，2
該變量符合超幾何分布，
∴P(ξ=i)=

C i 2 C 2-i 4

C 2 6

(i=0、1、2)
∴分布列是

ξ	0	1	2
P	2 5	8 15	1 15

∴Eξ=

8

15

+

2

15

=

2

3

點評：本題考查頻率分步直方圖的性質(zhì)，考查等可能事件的概率，考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查超幾何分布，本題是一個概率與統(tǒng)計的綜合題目．