Question

求函數(shù)f(x)=2x⁴-2x³-x²+1的極值點(diǎn)與極值．

 

Answer 1

答案：
解析：

由f′(x)=0，容易求得函數(shù)的駐點(diǎn)，為了確定駐點(diǎn)是否為函數(shù)的極值點(diǎn)，需討論當(dāng)自變量x從小到大經(jīng)過(guò)駐點(diǎn)時(shí)，f′(x)的符號(hào)是否發(fā)生變化，為此以駐點(diǎn)為分界點(diǎn)，將定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，分別討論函數(shù)在上述區(qū)間中的符號(hào)，并由此確定函數(shù)f(x)在上述區(qū)間的增減性，從而得到所求得的駐點(diǎn)是否為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)． 　　f′(x)=8x3-6x2-2x 　　令f′(x)=0 　　即8x3-6x2-2x=0 　　解得f(x)的駐點(diǎn)為x1=-，x2=0，x3=1，上述駐點(diǎn)將函數(shù)f(x)的定義域分成四個(gè)區(qū)間，討論函數(shù)f′(x)在每一區(qū)間的符號(hào)，確定f(x)的增減性，并列表如下： x f′(x) f(x) (-∞，) - ↘ - 0 極小 (-，0) + ↗ 0 0 極大 (0，1) - ↘ 1 0 極小 (1，+∞) + ↗ 　　由上表可知：函數(shù)f(x)的極小點(diǎn)為x=與x=0，相應(yīng)的極小值分別為f，f(1)=0，函數(shù)f(x)的極大點(diǎn)為x=0，相應(yīng)的極大值為f(0)=1．

提示：

可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的一個(gè)必要條件：“如果函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，那么f′(x0)=0，”這個(gè)結(jié)論十分重要，對(duì)可導(dǎo)函數(shù)來(lái)說(shuō)，極值點(diǎn)一定是方程f′(x0)=0的根．方程f′(x0)=0的根叫做函數(shù)y=f(x)的駐點(diǎn)，于是可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，但函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．利用函數(shù)的增減性，可判別函數(shù)的駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)：當(dāng)x由小到大經(jīng)過(guò)x0時(shí)，如果f′(x0)的符號(hào)由正變負(fù)(或由負(fù)變正)，那么函數(shù)y=f(x)就由遞增變?yōu)檫f減(或由遞減變?yōu)檫f增)，這樣x0就成為函數(shù)的極大點(diǎn)(或極小點(diǎn))，f(x0)也就成為函數(shù)的極大值(或極小值)；若f′(x)的符號(hào)沒(méi)有變化，那么x0就不是函數(shù)的極值點(diǎn)．求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般方法：(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)令f′(x)=0，求出函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)的駐點(diǎn)；(3)確定駐點(diǎn)是否為函數(shù)的極值點(diǎn)．