Question

在數(shù)列{a_n}，{b_n}中，a₁=2，b₁=4，且a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列．
（1）求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜測(cè){a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；
（2）證明：

1

a1+b1

+

1

a2+b2

+…+

1

an+bn

＜

5

12

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的性質(zhì)求得a_n和b_n的關(guān)系式，分別求得a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，推測(cè)出它們的通項(xiàng)公式．先看當(dāng)n=1時(shí)，等式明顯成立；進(jìn)而假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，推斷出a_k和b_k的表達(dá)式，進(jìn)而看當(dāng)n=k+1時(shí)看結(jié)論是否成立即可．
（2）先n=1時(shí)，不等式成立，進(jìn)而看n≥2時(shí)利用（1）中的{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式，以及裂項(xiàng)法進(jìn)行求和，證明題設(shè)．

解答：解：（1）由條件得2b_n=a_n+a_n+1，a_n+1²=b_nb_n+1
由此可得a₂=6，b₂=9，a₃=12，b₃=16，a₄=20，b₄=25．
猜測(cè)a_n=n（n+1），b_n=（n+1）²．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，由上可得結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即a_k=k（k+1），b_k=（k+1）²，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=2b_k-a_k=2（k+1）²-k（k+1）=（k+1）（k+2），b_k+1=

a 2 k+2

bk

=（k+2）²．
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
由①②，可知a_n=n（n+1），b_n=（n+1）²對(duì)一切正整數(shù)都成立．
（2）證明：

1

a1+b1

=

1

6

＜

5

12

．
n≥2時(shí)，由（1）知a_n+b_n=（n+1）（2n+1）＞2（n+1）n．
故

1

a1+b1

+

1

a2+b2

+…+

1

an+bn

＜

1

6

+

1

2

(

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

)=

1

6

+

1

2

(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

6

+

1

2

(

1

2

-

1

n+1

)＜

1

6

+

1

4

=

5

12

綜上，原不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等差數(shù)列，等比數(shù)列，數(shù)學(xué)歸納法，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納、總結(jié)、推理、論證等能力．