Question

若函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且在（0，+∞）內(nèi)是增加的，又f（3）=0，則不等式

f(x)-f(-x)

x

＜0的解集為（　　）

• A、（-3，0）∪（3，+∞）
• B、（-3，0）∪（0，3）
• C、（-∞，-3）∪（3，+∞）
• D、（-∞，-3）∪（0，3）

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知條件容易判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）內(nèi)是增加的，并且可得到f（-3）=f（3）=0，f（-x）=-f（x）．所以由原不等式得

f(x)＞f(-3) x＜0

或

f(x)＜f(3) x＞0

，根據(jù)f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上的單調(diào)性即可求出這兩個(gè)不等式組的解．

解答： 解：由已知條件知f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，f（-x）=-f（x），f（3）=f（-3）=0；
∴由原不等式得

2f(x)

x

＜0，所以：

f(x)＞0=f(-3) x＜0

  （1），或

f(x)＜0=f(3) x＞0

  （2）；
∵f（x）在（0，+∞）和（-∞，0）上都是增函數(shù)；
∴解不等式（1）（2）得-3＜x＜0或0＜x＜3；
∴原不等式的解集為（-3，0）∪（0，3）．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性的關(guān)系，以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式的方法．